Personale docente

Notizie Generali
-Nato a Roma il 28 gennaio 1969.
- Laureato in Matematica presso l'Università di Firenze il 19 Giugno 1992. Ha conseguito il titolo di Dottore di Ricerca in Matematica (VIII ciclo), Università di Firenze, Luglio 1997, sotto la direzione del Prof. Paolo de Bartolomeis.
- Dal 30 Dicembre 1996 al 31 Ottobre 2002 è stato Ricercatore universitario per il SSD GEOMETRIA, presso le Università di Palermo e di Parma.
- Dal Novembre 2002 al Giugno 2011 è stato in servizio come Professore Associato presso la Facoltà di Scienze dell'Università di Parma, SSD MAT03/GEOMETRIA.
- Dal 30 Giugno 2011 al 29 Giugno 2014 è stato professore Straordinario SSD MAT03/GEOMETRIA, Università di Parma.
- Posizione attuale: Professore Ordinario SSD MAT03/GEOMETRIA, Università di Parma (dal 30 Giugno 2014).
- Ha trascorso vari periodi di studio e di ricerca ed è stato Professore visitatore presso le Università del Michigan, del Minnesota, di Notre Dame, della Florida, della Bourgogne, della Ruhr, di Edinburgh, dei Paesi Baschi, di Stanford, di Zaragoza, il CIRM (Luminy), Grenoble, Trondheim dove ha tenuto seminari e conferenze su invito.
- Ha partecipato ed è stato invitato a parlare a convegni scientifici di carattere internazionale presso: Pisa Centro de Giorgi, Firenze, Perugia, Trento, Kuehlungsborn, Tenerife, Les Rasses sainte Croix, Bordeaux, Castro Urdiales, Torino, Benasque, Fribourg, Bucharest, Trieste, Bedlewo, Trondheim, Parigi, Oberwolfach, Niigata, Pisa Scuola Normale Superiore, Grenoble.
- Ha tenuto conferenze presso le Università di Milano Bicocca, Piemonte Orientale, Bologna, Firenze, Roma II, Perugia, Potenza, Palermo.
- È stato Coordinatore locale dell’Unità di Parma progetto PRIN 2010-2011 e 2015: "Varieta' reali e complesse: geometria, topologia e analisi armonica", Coordinatore Scientifico Prof. Fulvio Ricci.
- È Coordinatore locale dell’Unità di Parma progetto PRIN 2017: "Real and Complex Manifolds: Topology, Geometry and holomorphic dynamics", Coordinatore Scientifico Prof. Filippo Bracci.
- Membro del Collegio dei Docenti del Dottorato in Matematica, Università di Pavia, Milano-Bicocca e INdAM.
- È stato Presidente del Corso di Laurea triennale in Matematica da Novembre 2012 a Dicembre 2013.
- È stato direttore del Dipartimento di Matematica e Informatica dell'Università di Parma dal Dicembre 2013 al Dicembre 2016.
- È Direttore del Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche dell'Università di Parma dal Dicembre 2020.
- Direttore del Centro "Servizi E-Learning e Multimediali di Ateneo" dal 2017.
- Dal Gennaio 2018 è Direttore della Scuola Matematica Interuniversitaria.
- Membro della commissione per l'Abilitazione Scientifica Nazionale, Settore Concorsuale 01/A2 Geometria e Algebra.
- Dal Gennaio 2009 a Dicembre 2020 è stato Direttore della Rivista di Matematica della Università di Parma.
- Da Gennaio 2022 è membro del Governing Board degli Annali di Matematica Pura ed Applicata.
- È stato referee per il Duke Math. J., Intern. Math. Res. Notices, J. Geom. and Phys., Adv. In Geom., Ann. Mat. Pura Appl., Ann. SNS, J. Geom Anal., Proc. AMS, Inventiones Mathematicae, Ann. Inst. Fourier, Math. Z., Quarterly J. Math., Comm. Anal. Geom., Math. Annalen, Compositio Mathematica, Forum Mathematicum, Annals of Global Analysis and Geometry, Manuscripta Mathematica, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Nagoya Math. J., Transactions of AMS, Journal of AMS, Selecta Mathematica, international J. of Math., American J. of Math., J. Symplectic Geom..

Tesi di Dottorato dirette
Giulio Catellani, Università di Firenze, 2008.
Daniele Angella, Università di Pisa, 2013.
Federico Alberto Rossi, Università di Milano-Bicocca, 2013.
Nicoletta Tardini, Università di Pisa, 2017.
Michele Maschio, Università di Parma, 2018.
Riccardo Piovani, Università di Pisa, 2021.
Tommaso Sferruzza, Università di Parma, III anno di Dottorato, consegna prevista della tesi, Novembre 2022.

Attività di ricerca
Due sono i temi principali della ricerca scientifica di A.T., entrambi legati allo studio delle proprietà analitiche e geometriche di varietà dotate di strutture speciali.
Il primo riguarda lo studio dell'esistenza di strutture speciali su varietà complesse, quasi complesse, simplettiche. In particolare, si considerano varietà simplettiche compatte di dimensione 2n, dotate di una struttura quasi complessa dominata dalla forma simplettica e di una forma di tipo (n,0) mai nulla, di norma costante e d-bar chiusa. Ciò costituisce una possibile generalizazione della nozione di varietà di Calabi-Yau al caso non olomorfo. Nei lavori [de Bartolomeis, T., Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 2006, de Bartolomeis, T., Internat. J. Math. 2006, Conti, T., Q. J. Math. 2007], si studia la geometria di tali varietà, nel caso particolare in cui la struttura quasi complessa sia compatibile con la forma simplettica: si introduce la nozione di sottovarietà Lagrangiana speciale, dimostrando che la classe di Maslov di una sottovarietà Lagrangiana speciale è nulla, e si costruiscono poi esempi di tali strutture su solvmanifold non Kähleriane.
Il Teorema di Tian-Todorov stabilisce che lo spazio dei moduli delle varietà di Calabi-Yau è totalmente non ostruito: in [de Bartolomeis, T., Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 2013], si introduce lo spazio dei moduli delle deformazioni quasi complesse di una varietà di Calabi-Yau e si dimostra che anch'esso, sotto un'opportuna ipotesi coomologica, è totalmente non ostruito.
Le geometrie generalizzate sono state introdotte da [Hitchin, Q. J. Math. 2003] e studiate poi da [Gualtieri, Ann. Math. 201] nel caso della geometria complessa e Kähleriana generalizzata e da [Witt, Comm. Math. Phys. 2006] nel caso delle strutture G_2 generalizzate su varietà di dimensione 7. In [Fino, T., J. Symplectic Geom. 2009] si costruisce un esempio di solvmanifold non Kähleriana dotata di una struttura Kähleriana generalizzata, in [Fino, T., Internat. J. Math. 2008] si studia il legame tra le SU(3)-strutture su una varietà 6-dimensionale M e le strutture G_2 generalizzate sul prodotto di M per S^1 e si costruisce una famiglia di G_2 varietà generalizzate.
In [Fino, T., Adv. Math. 2009, Fino, T., J. London Math. Soc. (2) 2011] si studiano le metriche Hermitiane (su varietà complesse n-dimensionali e, più in generale, su orbifold complessi) la cui forma fondamentale (rispettivamente la sua (n-2)-esima potenza) è dd-bar chiusa. Tali metriche sono state studiate tra gli altri da [Bismut, Math. Ann. 1989], [Gauduchon, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 1977], [Jost, Yau, Acta Math. 1993]. Attraverso tecniche di blow-up si costruiscono nuovi esempi di tali metriche su varietà semplicemente connesse.
Il secondo tema ha come oggetto lo studio delle proprietà coomologiche delle varietà quasi complesse. Tali problematiche sono motivate da un lato dall'intento di estendere scomposizioni coomologiche nell'ambito di varietà non Kähleriane e dall'altro dallo studio delle relazioni tra il cono simplettico dominato e quello compatibile su varietà quasi complesse. A tale riguardo Donaldson congettura che su una 4-varietà quasi complessa compatta il cono simplettico dominato è non vuoto se e solo se il cono simplettico compatibile è non vuoto. Inoltre [Draghici, Li, Zhang, Internat. Math. Res. Notices, 2010] dimostrano che su ogni 4-varietà quasi complessa compatta il secondo gruppo di coomologia di de Rham si scompone come somma diretta dei sottogruppi formati dalle classi di coomologia aventi come rappresentanti forme invarianti, rispettivamente anti-invarianti, rispetto all'azione naturale della struttura complessa sullo spazio delle 2-forme. Ciò non è più vero in dimensione superiore come dimostrato in (Fino, T., J. Geom. Anal. 2010), dove, tra l'altro, si studia il caso speciale di varietà con la proprietà di Lefschetz. In (Angella,T., J. Symplectic Geom. 2011) si dimostra che, data una varietà complessa, l'esistenza della suddetta scomposizione coomologica non è stabile per deformazioni della struttura complessa. In (Angella, T., Internat. J. Math. 2012) si estende il risultato di (Li, Zhang, Comm. Anal. Geom. 2009) al fine di confrontare i coni di metriche bilanciate e strongly Gauduchon.
In (Hind, Medori, T., Proc. Amer. Math. Soc. 2014), data una varietà quasi complessa compatta di dimensione maggiore di 4, sotto opportune ipotesi topologiche, si dimostra che, per una particolare 2-classe di coomologia, esiste una struttura quasi complessa per cui tale classe ammette rappresentanti sia invarianti che anti-invarianti. Per altri risultati sulla coomologia anti-invariante coomologia L2 si veda [Hind, Medori, T., J. Geom. Anal. (2015)] e [Hind, T., J. Symplectic Geom. (2019)].
In [Angella, T., Zhang, Proc. AMS (2014)], si considera il caso quasi Kaehleriano. Simili nozioni sono introdotte e studiate nel caso simplettico in [Angella, T., J. Symplectic Geom. (2014)].
Motivati dall'intento di comprendere piu' a fondo le varietà complesse non Kaehleriane, si studiano le coomologie di Bott-Chern e di Aeppli. La ricerca su questi temi si e' sviluppata ed è attualmente in fase di sviluppo in varie direzioni. In particolare in [Angella, T., Invent. Math. (2013)] si studia la relazione tra le coomologie di Bott-Chern, di Aeppli, di de Rham e di Dolbeault. Si dimostra una disuguaglianza à la Frölicher che coinvolge le dimensioni dei gruppi di coomologia di Bott-Chern e i numeri di Betti: l'uguaglianza caratterizza la validità del $partialoverlinepartial$-Lemma, una proprietà centrale in geometria Kaehleriana. In [Angella, T., J. Noncommut. Geom. (2015)] la disuguaglianza precedente si estende al caso della varietà complesse generalizzate, comprese quelle simplettiche. I risultati generali sono applicati al caso speciale delle superficie complesse compatte (si veda [Angella, Dloussky, T., Ann. Mat. Pura App. (2016)]). In [Angella, Suwa, Tardini, T. , Complex Manifolds (2020)] si studia il comportamento del $partialoverlinepartial$-Lemma per modficazioni di varietà complesse compatte. Per altri risultati sulla coomologia delle varietà simplettiche e complesse si veda [T., Wang, Some results on the Hard Lefschetz Condition, Internat. J. of Math. (2018)] e [Rollenske, T., Wang, Vertical-horizontal decomposition of Laplacians and cohomologies of manifolds with trivial tangent bundles, Ann. Mat. Pura Appl. (2020)], [Piovani, T., Aeppli cohomology and Gauduchon Metrics, Complex Analysis and Operator Theory, (2020)], [Sferruzza, T.,Dolbeault and Bott-Chern formalities: Deformations and del-delbar-Lemma, Journal of Geom. And Physics, (2022)].
Nel tentativo di comprendere la struttura algebrica della coomologia di Bott-Chern, in [Angella, T., J. Geom. Phys. (2015)] si introduce una nozione di formalità geometrica rispetto alla coomologia di Bott-Chern. In [Tardini, T., Ann. Mat. Pura App. (2017)] si studia il comportamento dei prodotti di Aeppli-Bott-Chern Massey per deformazioni della struttura complessa. In [T., Torelli, Internat. J. Math. (2014)] si dimostra che la formalità di Dolbeault non è stabile per deformazione della struttura complessa e in [Cattaneo, T., J. Geom. Phys. (2015)] si studiano i prodotti di Dolbeault-Massey in varietà complesse speciali.
In relazione allo studio delle proprietà coomologiche di varietà quasi complesse, in [Angella, T., J. Symplectic Geom. (2011)] si studiano i gruppi di coomologia invarianti e anti-invarianti per l'azione della struttura quasi complessa. In [Angella, T., Internat. J. Math. (2012)], si studiano tali sottogruppi in relazione con i coni di metriche Hermitiane speciali. In [Angella, T., Zhang, Proc. AMS (2014)], si considera il caso quasi Kaehleriano. Simili nozioni sono introdotte e studiate nel caso simplettico in [Angella, T., J. Symplectic Geom. (2014)]. In [Anthes, Cattaneo, Rollenske, T., Ann. Glob. Anal. Geom. (2018)] si studiano le deformazioni delle varietà complesse simplettiche introdotte in [Cattaneo, T., Ann. Mat. Pura ed Appl., (2017]).
Nel caso di una varietà quasi complessa (compatta) (M,J), dotata di una metrica Hermitiana g, si possono considerare i Laplaciani di Dolbeault e di Bott-Chern, e i loro spazi di forme armoniche. Sia h^{p,q} la dimensione dello spazio delle (p,q)- forme Dolbeault armoniche su (M,J,g).
Kodaira and Spencer formularono la seguente domanda, Problema 20, [Hirzebruch, Annals of Math. (1954)]:

Question I Let (M,J) be an almost-complex manifold. Choose a Hermitian metric on (M,J) and consider the numbers h^{p,q}. Is h^{p,q} independent of the choice of the Hermitian metric?

In [Holt, Zhang, Harmonic Forms on the Kodaira-Thurston Manifold, arXiv:2001.10962, (2020)] Holt e Zhang hanno dato una risposta negativa a questa domanda, mostrando che esistono strutture quasi complesse sulla varietà di Kodaira-Thurston in modo tale che h^{0,1} cambi con scelte differenti di metriche Hermitiane.
Nel caso di una varietà compatta 4-dimensionale almost Kaehler mostrano che h^{1,1}=b_-+1 e formulano la seguente domanda:
Question II Let (M,J) be a compact almost-complex 4-dimensional manifold which admit an almost-Kaehler structure. Does it have a non almost-Kaehler Hermitian metric such that

h^{1,1} is different from b_-+1 ?

In [Tardini, T., delbar-harmonic forms on 4-dimensional almost-Hermitian manifolds, in corso di stampa Math. Res. Lett. (arXiv:2104.10594)] si dimostra che :
h^{1,1}=b_-, se la metrica è strettamente localmente conformalmente Kaehler e
h^{1,1}=b_- + 1, _-, se la metrica è globalmente conformalmente Kaehler. Per ulteriori risultati si veda [Tardini, T., Almost-complex invariants of families of six-dimensional solvmanifolds, (arXiv: 2109.09100) (2021), Tardini, T., Differential operators on almost-Hermitian manifolds and harmonic forms, Complex Manifolds, (2020), Piovani, T., Bott-Chern Laplacian on almost Hermitian manifolds, in Math. Zeit. (2022)].
In [Chen, Zhang, Kodaira dimension of almost complex manifolds I, (arXiv:1808.00085v2), H. Chen, Zhang, Kodaira dimensions of almost complex manifolds II, arXiv:2004.12825v1] gli autori introducono la nozione di dimensione di Kodaira per varietà compatte quasi complesse. Nei lavori [Cattaneo, Nannicini, T., Kodaira dimension of almost Kähler manifolds and curvature of the canonical connection, Ann. Mat. Pura ed Appl., (2020),
[Cattaneo, Nannicini, T., On Kodaira dimension of almost complex 4-dimensional solvmanifolds without complex structures, Internat. J. Math., (2021)] si calcola esplicitamente la dimensione di Kodaira per famiglie di varietà quasi complesse che non hanno strutture complesse.

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