Prof.

AREZZO Claudio

Professore di I fascia
Parco Area delle Scienze, 7/A 43124 PARMA
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Due sono i temi principali della ricerca scientifica di C.A. entrambi legati allo studio di proprieta’ analitiche e geometriche delle varieta’ kaehleriane. Il primo e’ il problema dell’esistenza di sottovarieta’ speciali di varieta’ con metrica di Einstein.
In particolare si e’ studiato il legame tra sottovarieta’ complesse e minimi del volume (cfr. Lawson e Simons, 1975, Siu e Yau, 1980, Micallef 1984, Wolfson 1989). In Compositio Math. 1998 si e’ trovato un teorema “a la Bernstein” per superfici minimali stabili in varieta’ hyperkaeheriane che garantisce l’olomorfia di questi minimi locali dell’Area. Si e’ anche sviluppata una nuova teoria per l’esistenza di superfici minimali periodiche nello spazio euclideo (J. Alg. Geom 1999, Int. J. Math. 2000, J. London. Math. Soc. 1999) e di n-sottovarieta’ minimali di C^n (Comm. Pure Appl. Math. 2003). Nei lavori (Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 2000, GAFA 2000,) si sono invece esibiti i primi esempi di superfici minimali stabili non olomorfe in varieta’ di Einstein a curvatura negativa o nulla.
Con G. La Nave (Adv Math 2005) si e’ dimostrato che questo fenomeno e’ presente anche in varieta’ di Fano di Einstein di dimensione complessa 3, dimostrando cosi’ l’ottimalita’ dei risultati di Siu, Yau e Wolfson.
Nello stesso lavoro si sono anche presentate le uniche sfere area minimizzanti non olomorfe ma simplettiche in 4-varieta’ reali di curvatura scalare costante positiva oggi note.
Il secondo tema di ricerca principale riguarda invece l’esistenza di metriche speciali, cioe’ bilanciate, estremali o di Einstein, su varieta’ di Kaehler.
In Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 2003, in collaborazione con G. Tian, si e’ dimostrato un teorema di esistenza per soluzioni di equazioni di Monge-Ampere legate all’esistenza di geodetiche di potenziali kaehleriani (cfr. Chen 2002). In J. Geom. Phys. 2003 abbiamo utilizzato la teoria dell’approssimazione di metriche kaehleriane con metriche proiettivamente indotte (cfr. Tian 1989, Zelditch 1998) per dimostrare alcuni risultati sulla quantizzazione geometrica.
In Comm. Math. Phys. 2004 con A. Loi, abbiamo esteso alcuni risultati di Donaldson sull'unicita' di metriche bilanciate a varieta' con gruppo di automorfismi non discreto (simili risultati sono stati dimostrati anche da Mabuchi).
In collaborazione con A. Ghigi e G.P. Pirola (J. Crelle) abbiamo recentemente costruito nuove classi di varieta' di Fano che ammettono metriche di Kahler-Einstein a curvatura positiva, trovando in particolare le prime famiglie complete di varieta' algebriche non omogenee con tale proprieta'.
Con F. Pacard abbiamo sviluppato una teoria dell'esistenza di metriche di Kahler a curvatura scalare costante su scoppiamenti di varieta' kahleriane.

E' stato referee delle seguenti riviste:
Inventiones Math., GAFA, Advances in Math, IMRN, Comm. Math. Helvetici, Comm. Anal and Geom., Geometriae Dedicata, Journ. Symplectic Geom., Complex Variables and Elliptic Equations.

E' stato coorganizzatore di convegni internazionali presso il Cirm di Trento e Banff (Canada).

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